Gamma

一、基础定义

Gamma（Γ）是期权价格对标的价格（S）的二阶导数，衡量Delta随标的价格变化的速度。

公式定义：

$$ \Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} $$

Delta（Δ）：期权价格对标的价格的一阶导数，表示方向性风险。
Gamma（Γ）：Delta 的变化率，表达曲率风险。

单位：Gamma 通常以**”Delta变动 / 标的价格变动1单位”**表示（如 Gamma=0.05 表示标的价格涨1元，Delta增加0.05）。

关键理解
Gamma 衡量的是期权的 “加速度”，而非仅仅方向（Delta）或速度（Delta变化）。

2.关键特征

2.1. 平值期权Gamma最大，虚值/实值Gamma趋近于0

✅ 特征：

平值（At-the-money, ATM）期权的Gamma 最大，因Delta在此位置对价格变化最敏感。
深度实值（Deep ITM）或虚值（Deep OTM）期权的Gamma 趋近于0，因Delta几乎不再变化。

📊 案例（标的价格$100，到期日30天）

期权类型	Gamma值	Delta变化率
90 Call（深度虚值）	~0.01	几乎不变（Delta≈0）
100 Call（平值）	0.08	最敏感（Delta 0.5→0.58）
110 Call（深度实值）	~0.02	几乎不变（Delta≈1）

结论：

Gamma交易首选平值期权（高Gamma带来高对冲收益）。
虚值/实值期权Gamma低 → 适合低调整成本的长期持仓。

2.2. Gamma随到期日临近而剧增（尤其平值期权）

✅ 特征：

越临近到期，平值期权的Gamma 指数级增长（Gamma爆炸）。
远月期权的Gamma相对平缓。

📌 数学公式：

$$ \Gamma \propto \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} $$

（T为剩余时间，σ为波动率）

🔍 案例对比（标的价格$50，波动率30%）

到期日	平值Call Gamma	现象
3个月后到期	0.05	Gamma温和
1天后到期	0.4	Gamma爆炸

市场影响：

末日期权（0-3天到期）价格对微小波动极敏感，适合短线投机。
做市商被迫高频对冲 → 可能引发价格剧烈波动（如“Gamma挤压”）。

2.3. Gamma与隐含波动率（IV）负相关

✅ 特征：

隐含波动率（IV）越高 → Gamma越小（期权价格曲线更平缓）。
IV越低 → Gamma越大（期权价格曲线更陡峭）。

📊 关系图示

高IV市场（如财报前） → Gamma较低 → 对冲频率低低IV市场（平稳期） → Gamma较高 → 需更密集对冲

📌 应用场景：

买入低IV期权：Gamma较高，波动一旦启动可快速盈利（如事件驱动策略）。
卖出高IV期权：Gamma较低，时间衰减（Theta）更有利。

但是，为什么呢？

2.3.1 数学解释：Black-Scholes公式中的Gamma表达式

在Black-Scholes模型中，Gamma的公式为：

$$ \Gamma = \frac{N’(d_1)}{S \sigma \sqrt{T}} $$

其中：

N′(d1) 为标准正态分布的密度函数（概率密度峰值在平值期权处）。
S 为标的资产价格。
σ 为隐含波动率（IV）。
T 为剩余到期时间。

✅ 关键观察：

Gamma与 隐含波动率（σ） 和 剩余时间（T） 均成反比：

IV上升（σ↑） → 分母增大 → Gamma（Γ）减小。
IV下降（σ↓） → 分母减小 → Gamma（Γ）增大。

📌 结论：

数学上，Gamma和隐含波动率必然呈负相关，这是模型内生的性质。

2.3.2 经济逻辑：波动率如何影响期权价格曲线

（1）高IV环境下：期权价格曲线更“平缓”

当市场预期波动剧烈（如财报前），期权价格对标的涨跌的敏感性分散化：
- 平值/深度虚值（OTM）期权因波动预期被“拉高”价格。并在高位徘徊。
- 深度实值（ITM）期权价格受波动影响较小。
结果：期权价格曲线（Payoff Curve）整体变得更平缓 → Gamma较小（Delta变化率低）。

（2）低IV环境下：期权价格曲线更“陡峭”

当市场平静（如无事件窗口），期权价格集中在平值附近快速变化：
- 平值（ATM）期权的Delta对价格变化极度敏感。
- 虚值/实值期权的价格几乎“无弹性”。
结果：期权价格曲线呈现明显转折点 → Gamma较大（Delta变化率高）。

2.3.3. 市场行为解释：交易者如何影响Gamma

（1）高IV时期：交易者减少对冲需求

当IV较高（如危机事件），期权卖方（如做市商）收取更多权利金，用部分利润覆盖潜在风险，降低对冲频率：
- 例子：卖出VIX期权时，即使市场波动，Gamma风险较小。
结果：Gamma需求下降 → Gamma与IV反向变动。

（2）低IV时期：交易者被迫高频对冲

当IV极低（如市场平静期），平值期权Gamma极高，做市商必须频繁调仓：
- 例子：2021年中美股低波动阶段，Gamma Scalping策略盛行。
结果：Gamma需求上升 → Gamma与IV负相关。

2.4. 正Gamma vs. 负Gamma：盈利模式完全不同

策略类型	Gamma符号	波动率影响	对冲需求	典型策略
买入期权（Long Options）	+Γ	波动↑→盈利	动态对冲（低买高卖）	跨式组合（Straddle）
卖出期权（Short Options）	-Γ	波动↑→亏损	被迫追涨杀跌	备兑开仓（Covered Call）

✅ 关键区别：

正Gamma：自动实现“低买高卖”（Gamma Scalping）。
负Gamma：需主动管理止损，否则可能因趋势行情崩盘。

关于负Gamma，后面会细说。

2.5. Gamma与Theta的权衡（时间损耗vs.波动收益）

✅ Gamma-Theta关系：

高Gamma策略（如买入近月期权）通常伴随高Theta损耗（时间价值衰减快）。
低Gamma策略（如卖出远月期权）通常Theta为正（赚取时间价值）。

📌 平衡方法：

短线交易：接受高Theta损耗，换取Gamma波动收益（如末日期权）。
长期持仓：选择Theta友好的低Gamma策略（如远月价差组合）。

📊 盈亏模拟（买入平值Call vs. 卖出Put）

策略	Gamma	Theta	适合行情
买入1周期平值Call	+0.1	-0.05/天	高波动突破
卖出1月虚值Put	-0.03	+0.01/天	低波动震荡

2.6. Gamma的组合叠加性（多腿策略的Gamma计算）

✅ 特征：

组合Gamma = 所有期权头寸Gamma的代数和。
通过混合不同Gamma符号的头寸，可实现Gamma中性（ΔΓ≈0）。

📌 案例：

买入跨式（Straddle）：Call Γ + Put Γ → 双倍正Gamma。
铁秃鹰（Iron Condor）：卖出虚值Call/Put → 整体Gamma为负。

🔍 机构对冲技巧：

做市商为减少对冲成本，会尽量保持小规模净Gamma（如Γ∈[-0.05,0.05]）。

二、作用

1. 动态管理Delta风险

正Gamma头寸（如买入期权）：

标的价格上涨 → Delta↑ → 自动追涨（盈利加速）。
标的价格下跌 → Delta↓ → 自动止损（亏损减速）。
适用场景：趋势交易、波动率突破策略。
案例1：买入平值看涨期权（Long ATM Call）
情景：
- 标的股票价格：100元
- 买入1手行权价100元的看涨期权（Gamma=0.05，Delta=0.5）
- 权利金成本：5元
Gamma的作用表现：
1. 标的价格上涨至105元（+5%）
  - Delta从0.5 → 0.75（Gamma=0.05 × 5元涨幅= +0.25 Delta）
  - 盈利加速：
    - 前5元涨幅：期权价格从5元→7.5元（Delta≈0.5，盈利2.5元）
    - 后5元涨幅：期权价格从7.5元→11.25元（Delta≈0.75，盈利3.75元）
  - Gamma效果：标的价格越高，Delta越大，盈利速度越快（凸性收益）。
2. 标的价格下跌至95元（-5%）
  - Delta从0.5 → 0.25（Gamma=0.05 × 5元跌幅= -0.25 Delta）
  - 亏损减速：
    - 前5元跌幅：期权价格从5元→2.5元（亏损2.5元）
    - 后5元跌幅：期权价格从2.5元→1.25元（亏损1.25元）
  - Gamma效果：标的越跌，Delta越小，亏损速度减缓。
✅ 关键结论：
正Gamma让投资者在趋势中**“赢大亏小”**，适合押注波动率上升（如财报发布前买入跨式组合）。

负Gamma头寸（如卖出期权）：

标的价格上涨 → Delta↓ → 被迫高买（对冲成本增加）。
标的价格下跌 → Delta↑ → 被迫低卖（亏损放大）。
风险案例：做市商在极端行情下的“Gamma Squeeze”（如2021年GME事件）。
案例2：卖出平值看跌期权（Short ATM Put）
情景：
- 标的股票价格：100元
- 卖出1手行权价100元的看跌期权（Gamma=-0.05，Delta=-0.5）
- 收取权利金：5元
Gamma的作用表现：
1. 标的价格下跌至95元（-5%）
  - Delta从-0.5 → -0.75（Gamma=-0.05 × 5元跌幅= -0.25 Delta）
  - 亏损加速：
    - 前5元跌幅：期权价格从5元→7.5元（亏损2.5元）
    - 后5元跌幅：期权价格从7.5元→11.25元（亏损3.75元）
  - Gamma效果：标的价格越低，Delta负值越大，需买入更多标的对冲（否则亏损放大）。
2. 标的价格上涨至105元（+5%）
  - Delta从-0.5 → -0.25（Gamma=-0.05 × 5元涨幅= +0.25 Delta）
  - 对冲压力减轻：Delta负值减小，可平仓部分对冲头寸。
✅ 关键结论：
负Gamma让卖方在波动中**“亏大赢小”**，需警惕黑天鹅事件（如2020年原油暴跌时卖出Put的机构爆仓）。
案例3：做市商的“Gamma Squeeze”困境
事件背景：2021年GME（游戏驿站）轧空行情中，做市商因大量卖出看涨期权（-Gamma）被迫追高买入股票，加剧价格上涨。
Gamma的作用链条：
1. 做市商卖出GME的看涨期权（行权价40美元，Gamma=-0.1）。
2. GME股价从40美元暴涨至100美元：
  - Delta从-0.5 → -0.9（Gamma=-0.1 × 60美元= -6 Delta！需买入6倍标的对冲）。
3. 恶性循环：
  - 做市商疯狂买入股票对冲 → 推动股价进一步上涨 → 更多Call变为实值 → 需要更多对冲……
✅ 关键结论：
负Gamma在极端行情中会引发**“自反馈式波动”**，成为市场崩盘或暴涨的催化剂。

2. 决定对冲频率与成本

高Gamma头寸：

Delta随价格快速变化 → 需高频对冲（适合短线交易者）。
例如：平值期权临近到期时Gamma飙升，做市商需每分钟调仓。

低Gamma头寸：

Delta相对稳定 → 对冲成本低（适合长线持仓）。
例如：远月深度实值期权Gamma趋近于0。

3. 影响波动率策略的盈亏结构

买入期权（+Gamma）：

波动率上升（IV↑）或标的波动（σ↑） → 盈利潜力放大。
策略代表：Long Straddle、Gamma Scalping。
案例4：Gamma Scalping（利用正Gamma对冲套利）
策略逻辑：通过买入期权获得正Gamma，在标的波动中低买高卖Delta对冲标的。
操作步骤：
1. 买入平值看涨期权（Gamma=0.05，Delta=0.5）。
2. 标的价格上涨2元（例如100→102元）：
  - Delta从0.5 → 0.6（Gamma=0.05 × 2元= +0.1 Delta）。
  - 对冲操作：卖出0.1手标的股票锁定利润。
3. 标的价格回调至101元：
  - Delta从0.6 → 0.55（Gamma=0.05 × 1元跌幅= -0.05 Delta）。
  - 对冲操作：买入0.05手标的股票回补仓位。
4. 重复操作：通过高抛低吸标的，赚取波动利润。
✅ 关键结论：
正Gamma是高频对冲的“燃料”，需配合交易成本和波动幅度评估可行性。

卖出期权（-Gamma）：

波动率下降（IV↓）或标的平稳 → 赚取时间价值（Theta）。
策略代表：Short Iron Condor、Covered Call。

4. 揭示价格曲线的凸性（Convexity）

高Gamma期权：价格曲线更陡峭（非线性强），适合捕捉大幅波动。
低Gamma期权：价格曲线更平缓（接近线性），适合稳健收益。

5. 与其他希腊字母的协同作用

Gamma vs. Theta：
- 高Gamma通常伴随高Theta衰减（如平值期权），需权衡时间成本。
Gamma vs. Vega：
- 高Gamma头寸对短期波动敏感，高Vega头寸对长期波动率敏感。

三、风险与对冲

1.1 Gamma Squeeze（伽玛挤压）

定义：当市场上大量期权头寸集中在某一行权价（尤其是平值附近），做市商或机构因负Gamma被迫高频对冲，导致标的价格波动被放大的恶性循环。

发生机制

做市商卖出期权（负Gamma） → 承担对冲义务
标的价格突破关键位 → Delta绝对值骤增（如从0.3→0.7）
做市商被迫买入更多标的资产（Call卖方）或抛售标的（Put卖方）
对冲行为本身推高/压低价格 → 更多期权进入实值 → 需要更大规模对冲

经典案例

2021年GME事件做市商卖出大量行权价40美元的看涨期权（Gamma=-0.1），当股价从40美元暴涨至100美元时：
- Delta从-0.5→-0.9（需买入40%市值股票对冲）
- 买盘推动价格进一步上涨 → 更多期权变为实值 → 新一轮对冲
- 结果：股价在一周内从20美元飙升至483美元，做市商亏损百亿美元。

关键特征

触发条件：高持仓量平值期权 + 标的流动性不足
受害者：裸卖期权的做市商、对冲基金
防御措施：分散行权价、购买远月对冲合约

1.1.1 对冲

分散行权价与到期日
- 避免在同一行权价堆积过多头寸（如平值期权持仓占比＜30%）。
- 案例：做市商在标普500期权中，将头寸分散在4000/4100/4200三个行权价，到期日覆盖周/月/季度合约。
动态调整保证金覆盖
- 对高负Gamma头寸追加保证金要求（如预计对冲成本×1.5倍）。
提前购买尾部保护
- 买入虚值Put（行权价-10%）对冲极端下跌风险，成本约权利金的2-5%。

1.2 对冲成本失控（负Gamma的致命伤）

定义：持有负Gamma头寸时，标的价格波动导致Delta频繁变化，需持续调整对冲仓位，交易成本（佣金、滑点）吞噬利润。

定量分析

假设某机构卖出100手Put（Gamma=-0.02/手），标的日内波动10元：

初始Delta：-50（=-0.5×100手）
价格下跌5元后：Delta=-50 + (-0.02×100×5) = -60 → 需买入10股对冲
价格反弹3元后：Delta=-60 + (-0.02×100×-3) = -54 → 需卖出6股
累计成本：每轮对冲产生0.1%滑点 + 佣金 → 日内高频操作可能亏损超权利金收入。

对冲困境

流动性差的市场（如小盘股、加密货币）：滑点成本显著放大
极端波动日（如美联储决议）：买卖价差急剧扩大

1.2.1 对冲

1. 高频对冲优化

算法执行：
- 使用TWAP/VWAP算法拆分大单，减少滑点（机构滑点可控制在0.05%内）。
- 案例：Citadel对每笔对冲订单拆分为10笔，每2分钟执行一次。
选择高流动性标的：
- 优先交易标普500、纳指100等宽基指数期权，个股期权需满足日均成交量＞10万手。

2. 成本转移策略

卖出远月期权：远月Gamma较低（如60天到期Gamma≈0.02，近月≈0.08），对冲频率减少80%。
波动率对冲：同时卖出高IV期权、买入低IV期权（如做空VIX期货），抵消部分对冲成本。

1.3 凸性陷阱（Gamma与Theta的战争）

定义：Gamma带来的非线性收益可能被时间衰减（Theta）抵消，尤其在低波动环境中。

买方困局（正Gamma + 负Theta）

场景	Gamma效应	Theta效应	结果
标的价格大涨10%	Delta加速上升 → 暴利	每日权利金衰减0.5%	盈利但需快速止盈
价格横盘3周	Delta几乎不变	权利金累计衰减15%	本金大幅缩水

典型案例：买入跨式组合押注财报，但公司业绩符合预期 → 价格未波动 + 权利金归零。

卖方困局（负Gamma + 正Theta）

温水煮青蛙：通过卖出期权每日收取Theta，但一次黑天鹅事件（如俄乌冲突）可能吞噬数年利润。

1.3.1 对冲

1. 买方解决方案

缩短持仓周期：
- 仅在大事件前1-3天建仓（如财报/美联储会议），避免长期持有损耗。
- 数据：持有7天的期权Theta损耗占权利金15-30%，3天内仅5-10%。
比率价差（Ratio Spread）：
- 买入1手平值Call + 卖出2手虚值Call，降低净权利金支出（可降至原始成本的30%）。

2. 卖方解决方案

Gamma-Theta比值筛选：
- 只卖出Gamma绝对值＜Theta×2的合约（如Theta=0.05/天，Gamma需＜0.1）。
- 工具：通过期权分析平台（如ThinkorSwim）筛选符合条件的合约。
分批建仓：
- 在波动率上升时逐步加仓（如VIX＞25时卖出Put，VIX＜15时暂停）。

1.4 到期日Gamma爆炸

定义：平值期权在临近到期时，Gamma趋近无穷大，微小的价格变动导致Delta剧烈跳变。

数学原理

到期前1小时，平价期权Delta：
- 标的价格>行权价：Delta=1（实值）
- 标的价格<行权价：Delta=0（虚值）
Gamma效应：价格在行权价附近波动0.01元 → Delta从0.5突变为0或1。

实操风险

卖方：若未提前对冲，可能面临：
- Call卖方：收盘价高出0.01元 → 需交割股票（流动性危机）
- Put卖方：暴跌至行权价下 → 被行权后以高价买回标的
买方：杠杆押注到期日，成功率极低（近似赌博）。

1.4.1 对冲

1. 提前移仓

在到期前3天将平值头寸移至下个月，减少Gamma峰值影响（Gamma从0.1→0.01）。

2. 构建蝶式组合

买入铁蝶式（Iron Butterfly）：
- 卖出1手平值Call+1手平值Put，同时买入1手虚值Call+1手虚值Put。
- 效果：将Gamma敞口压缩至近零，同时对冲Vega风险。

3. 硬性止损规则

到期日当天若标的价格进入行权价±1%范围，立即平仓或切换为现货对冲。

1.5 波动率与Gamma的共振

定义：高波动率环境中，Gamma的作用会被放大，但波动率本身难以预测。

VIX与Gamma的关系

隐含波动率（IV）↑ → 期权价格↑ → 相同标的价格变动下，Delta变化更剧烈（Gamma隐性上升）
历史波动率↑ → 标的波动↑ → 触发更多Delta对冲需求

案例：2018年2月美股闪崩

VIX从17飙升至50+
做空波动率的ETF（如XIV）因负Gamma头寸崩盘，单日暴跌90%

1.5.1 对冲

1. 波动率曲面对冲

做多波动率凸性：
- 买入虚值Straddle（行权价±15%）+ 卖出平值Straddle，成本为净权利金的20%，但可对冲波动率曲面扭曲风险。

2. 跨资产对冲

股债联动：当美股Gamma风险上升时，增加美债期货头寸（负相关性≈-0.6）。

3. VIX期权保护

每月用1%资金买入VIX Call（行权价=当前VIX+10），波动率飙升时盈利可覆盖股票期权亏损。

引用

https://www.optiontradingtips.com/greeks/gamma.html

https://www.britannica.com/money/option-delta-and-gamma

https://optionalpha.com/learn/options-greeks

https://medium.com/hypervolatility/options-greeks-delta-gamma-vega-theta-rho-23f0321b64ba

https://www.quantconnect.com/learning/articles/introduction-to-options/the-greek-letters

Delta Theta